Khảo sát ứng dụng MATLAB trong điều khiển tự động
GIỚI THIỆU LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

Điều khiển tự động đóng vai trò quan trọng trong sự phát triển của khoa học và kỹ thuật. Lĩnh vực này hữu hiệu khắp nơi từ hệ thống phi thuyền không gian, hệ thống điều khiển tên lửa, máy bay không người lái, người máy, tay máy trong các quy trình sản xuất hiện đại, và ngay cả trong đời sống hàng ngày: điều khiển nhiệt độ, độ ẩm...
Phát minh đầu tiên khởi đầu cho việc phát triển của lĩng vực điều khiển tự động là bộ điều tốc ly tâm để điều chỉnh nhiệt độ máy hơi nước của Jame Watt năm 1874. Các công trình đáng chú ý trong bước đầu phát triển lý thuyết điều khiển là của các nhà khoa học Minorsky, Hazen, Nyquist...năm 1922. Minorky thực hiện hệ thống điều khiển tự động các con tàu và chứng minh tính ổn định của hệ thống có thể được xác định từ phương trình vi phân mô tả hệ thống. Năm 1932, Nyquist đã đưa ra một nguyên tắc tương đối đơn giản để xác định tính ổn định của hệ thống vòng kìn dựa trên cơ sở đáp ứng vòng hở đối với các tính hiệu vào hình sin ở trạng thái xác lập. Năm 1934, Hazen đã giới thiệu thuật ngữ điều chỉnh cơ tự động (servo mechanism) cho những hệ thống điều khiển định vị vâà thảo luận đến việc thiết kế hệ thống relay điều chỉnh động cơ với ngõ vào tín hiệu thay đổi.
Trong suốt thập niên 40 của thế kỷ 20 phương pháp đáp ứng tần số đã giúp cjo các kỹ sư thiết kế các hệ thống vòng kín tuyến tính thỏa các yêu cầu chất lượng điều khiển. Từ cuối thập niên 40 cho đến đầu thập niên 50 phương pháp quỹ đạo nghiệm của Evan được phát triển khá toàn vẹn.
Phương pháp quỹ đạo nghiệm và đáp ứng tần số được xem là cốt lõi của lý thuyết điều khiển cổ điển cho phép ta thiết kế được những hệ thống ổn định và thỏa các chỉ tiêu chất lượng điều khiển. Những hệ thống này được chấp nhận nhưng chưa phải là tối ưu, hoàn thiện nhất. Cho tới cuối thập niên 50 của thế kỷ 20 việc thiết kế một hay nhiều hệ thống dần dần được chuyển qua việc thiết kế một hệ thống tối ưu với ý nghĩa đầy đủ hơn.
Khi các máy móc hiện đại ngày càng phức tạp hơn với nhioều tín hiệu vào và ra thì việc mô tả hệ thống điều khiển hiện đại này đòi hỏi một lượng rất lớn các phương trình. Lý thuyết điều khiển cổ điển liên quan các hệ thống một ngõ vào và một ngõ ra trở nên bất lực để phân tích các hệ thống nhiều đầu vào, nhiều đầu ra. Kể từ khoảng năm 1960 trở đi nhờ máy tính sốcho phép ta phân tích các hệ thống phức tạp trong miền thời gian, lý thuyết điều khiển hiện đại phát triển để đối phó với sự phức tạp của các hệ thống hiện đại. Lý thuyết điều khiển hiện đại dựa trên phân tích trong miền thới gian và tổng hợp dùng các biến trạng thái, cho phép giải các bài toán điều khiển có các yêu cầu chặt chẽ về độ chính xác, trọng lượng và giá thành của các hệ thống trong lĩnh vực kỹ nghệ không gian và quân sự.
Sự phát triển gần đây của lý thuyết điều khiển hiện đại là trong nhiều lĩnh vực điểu khiển tối ưu của các hệ thống ngẫu nhiên và tiền định. Hiện nay máy vi tính ngày càng rẽ, gọn nhưng khả năng xử lý lại rất mạnh nên nó được dùng như là một phần tử trong các hệ thống điều khiển. Những áp dụng gần đây của lý thuyết điều khiển hiện đại vào ngay cả những ngành kỹ thuật như: sinh học, y học, kinh tế, kinh tế xã hội.

I. NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1. Điều khiển học (Cybernctics):
Là khoa học nghiên cứu những quá trình điều khiển và truyền thông máy móc, sinh vật và kinh tế. Điều khiển học mang đặc trưng tổng quát và được phân chia thành nhiều lĩnh vực khác nhau như: toán điều khiển, điều khiễn học kỹ thuật, điều khiển học sinh vật (phỏng sinh vật: bionics), điều khiển học kinh tế.
2. Lý thuyết điều khiển tự động:
Là cơ sở lý thuyết của điều khiển học kỹ thuật. Điều khiển tự động là thuật ngữ chỉ quá trình điều khiển một đối tượng trong kỹ thuật mà không có sự tham gia của con người (automatic) nó ngược lại với quá trình điều khiển bằng tay (manual).
3. Hệ thống điều khiển tự động:
Một hệ thống điều khiển tự động bao gồm 3 phần chủ yếu:
Thiết bị điều khiển (TBĐK).
- Đối tượng điều khiển (ĐTĐK).
- Thiết bị đo lường.
Hình 1.1 là sơ đồ khối của hệ thống điều khiển tự động.
Hình 1.1
Trong đó:
C: tín hiệu cần điều khiển, thường gọi là tín hiệu ra (output).
U: tín hiệu điều khiển.
R: tín hiệu chủ đạo, chuẩn, tham chiếu (reference) thường gọi là tín hiệu vào (input).
N: tín hiệu nhiễu tác động từ bên ngoài vào hệ thống.
F: tín hiệu hồi tiếp, phản hồi (feedback).
4. Hệ thống điều khiển kín (closed loop control system):
Là hệ htống điều khiển có phản hồi (feeback) nghĩa là tín hiệu ra được đo lường và đưa về thiết bị điều khiển. Tín hiệu hồi tiếp phối hợp với tín hiệu vào để tạo ra tín hiệu điều khiển. Hình 1.1 chính là sơ đồ của hệ thống kín. Cơ sở lý thuyết để nghiên cứu hệ thống kín chính là lý thuyết điều khiển tự động.
5. Hệ thống điều khiển hở:
Đối với hệ thống hở, khâu đo lường không được dùng đến. Mọi sự thay đổi của tín hiệu ra không được phản hồi về thiết bị điều khiển. Sơ đồ hình 1.2 là hệ thống điều khiển hở.

Hình 1.2: Hệ thống điều khiển hở
Cơ sở lý thuyết để nghiên cứu hệ thống hở là lý thuyết về relay và lý thuyết ôtômát hữu hạn.

II. PHÂN LOẠI HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG
Hệ thống điều khiển có thể phân loại bằng nhiều cách khác nhau. Sau đây là một số phương pháp phân loại:
1. Hệ tuyến tính và phi tuyến:
Có thể nói hầu hết các hệ thống vật lý đều là hệ phi tuyến, có nghĩa là trong hệ thống có ít nhất một phần tử là phần tử phi tuyến (quan hệ vào ra là quan hệ phi tuyến). Tuy nhiên, nếu phạm vi thay đổi của các biến hệ thống không lớn, hệ thống có thể được tuyến tính hóa trong phạm vi biến thiên của các biến tương đối nhỏ. Đối với hệ tuyến tính, phương pháp xếp chồng có thể được áp dụng.
2. Hệ bất biến và biến thiên theo thời gian:
Hệ bất biến theo thời gian (hệ dừng) là hệ thống có các tham số không đổi (theo thời gian). Đáp ứng của các hệ này không phụ thuộc vào thời điểm mà tín hiệu vào được đặt vào hệ thống điều khiển phi thuyền không gian, với khối lượng giảm theo thời gian do tiêu thụ năng lượng trong khi bay.
3. Hệ liên tục và gián đoạn theo thời gian:
Trong hệ liên tục theo thìi gian, tất cả các biến là hàm liên tục theo thời gian. Công cụ phân tích hệ thống liên tục là phép biến đổi Laplace hay Fourier. Tronh khi đó, hệ gián đoạn là hệ thống có ít nhất một tín hiệu là hàm gián đoạn theo thời gian. Người ta phân biệt hệ thống gián đoạn gồm:
- Hệ thống xung: là hệ thống mà trong đó có một phần tử xung (khóa đóng ngắt) hay là tín hiệu được lấy mẫu (sample) và giữ (hold). (Hình 1.3)

Hình 1.3: Hệ thống điều khiển xung.

- Hệ thống số: là hệ thống gián đoạn trong đó tín hiệu được mã hóa thanh logic 1, 0. Đó là các hệ thống có các khâu biến đổi tương tự / số (A/D), số/ tương tự (D/A) và để kết nối kết nối tín hiệu với máy tính số. (Hình 1.4)

Hình 1.4: Hệ thống điều khiển số
Công cụ để phân tích hệ thống gián đoạn là phép biến đổi Laplace, Fourier gián đoạn hay phép biến đổi Z.
4. Hệ đơn biến và đa biến:
Hệ đơn biến là hệ chỉ có một ngõ vào và một ngõ ra. Công cụ để phân tích và tổng hợp hệ đơn biến là lý thuyết điều khiển cổ điển. Ví dụ: hệ điều khiển định vị (vị trí).
Hệ đa biến là hệ có nhiều ngõ vào và nhiều ngõ ra. Công cụ để phân tích và tổng hợp hệ đa biến là lý thuyềt điều khiển hiện đại dựa trên cơ sở biểu diễn hệ trong không gian trạng thái. Ví dụ: hệ điều khiển quá trình (Process Control System) có thể gồm có điều khiển nhiệt độ và áp suất.
5. Hệ thống thích nghi và hệ thống không thích nghi:
Hệ thống thích nghi là hệ htống hoạt động theo nguyên tắc tự chỉnh định, trong đó hệ thống tự phát hiện những thay đổi của các tham số do ảnh hưởng của môi trường bên ngoài và thực hiện việc điều chỉnh tham số để đạt được chỉ tiêu tối ưu được đề ra.
6. Hệ xác định (deterministic) và hệ ngẫu nhiên (stochastic):
Một hệ thống điều khiển là xác định khi đáp ứng đối với một ngõ vào nhất định có thể được biết trước (predictable) và có thể lặp lại được (repeatable). Nếu không thỏa mãn 2 điều kiện trên, hệ thống điều khiển là ngẫu nhiên.

III. NHIỆM VỤ CỦA LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG
Để khảo sát và thiết kế một hệ thống điều khiển tự động người ta thực hiện các bước sau:
a) Dựa trên các yêu cầu thực tiễn, các mô hình vật lý ta xây dựng mô hình toán học dựa trên các quy luật, hiện tượng, quan hệ của các đối tượng vật lý. Mô hình toán học của hệ thống được xây dựng từ các mô hình toán học của các phần tử riêng lẻ.
b) Dựa trên lý thuyết ổn định, ta khảo sát tính ổn định của hệ thống. Nếu hệ thống không ổn định ta thay đổi đặc tính của hệ thống bằng cách đưa vào một khâu bổ chính (compensation) hay thay đổi thay đổi tham số của hệ để hệ thành ổn định.
c) Khảo sát chất lượng của hệ theo các chỉ tiêu đề ra ban đầu. Nếu hệ không đạt chỉ tiêu chất lượng ban đầu, ta thực hiện bổ chính hệ thống.
d) Mô phỏng hệ thống trên máy tính để kiểm tra lại thiết kế.
e) Thực hiện mô hình mẫu (prototype) và kiểm tra thiết kế bằng thực nghiệm.
f) Tinh chỉnh lại thiết kế để tối ưu hóa chỉ tiêu chất lượng và hạ thấp giá thành nều có yêu cầu.
g) Xây dựng hệ thống thực tế.

1. Lệnh PZMAP
a) Công dụng:
Vẽ biểu đồ cực-zero của hệ thống.
b) Cú pháp:
[p,z]= pzmap(num,den)
[p,z]= pzmap(a,b,c,d)
[p,z]= pzmap(a,b,c,d)
c) Giải thích:
Lệnh pzmap vẽ biểu đồ cực-zero của hệ LTI. Đối với hệ SISO thì các cực và zero của hàmtruyền được vẽ.
Nếu bỏ qua các đối số ngõ ra thì lệnh pzmap sẽ vẽ ra biều đồ cực-zero trên màn hình.
pzmap là phương tiện tìm ra các cực và zero tuyền đạt của hệ MIMO.
pzmap(a,b,c,d) vẽ các cực và zero của hệ không gian trạng thái trong mặt phẳng phức. Đối với các hệ thống MIMO, lệnh sẽ vẽ tất cả các zero truyền đạt từ tất cả các ngõ vào tới tất cả các ngõ ra. Trong mặt phẳng phức, các cực được biểu diễn bằng dấu còn các zero được biểu diễn bằng dấu o.
pzmap(num,den) vẽ các cực và zero của hàm truyền trong mặt phẳng phức. Vector num và den chứa các hệ số tử số và mẫu số theo chiều giảm dần số mũ của s.
pzmap(p,z) vẽ các cực và zero trong mặt phẳng phức. Vector cột p chứa tọa độ các cực và vector cột z chứa tọa độ các zero trong mặt phẳng phức. Lệnh này vẽ các cực và zero đã được tính sẵn trong mặt phẳng phức.
Nếu giữ lại các đối số ngõ ra thì :
[p,z]= pzmap(num,den)
[p,z]= pzmap(a,b,c,d)
[p,z]= pzmap(a,b,c,d)
tạo ra các ma trận p và z trong đó p chứa các cực còn z chứa các zero.
d) Ví dụ: (Trích trang 11-174 sách Control system Toolbox)
Vẽ các cực và zero của hệ liên tục có hàm truyền :

num = [2 5 1];
den = [1 2 3];
pzmap(num,den)
title(Bieu do cuc-zero)

2. Lệnh RLOCFIND
a) Công dụng:
Tìm độ lợi quỹ đạo nghiệm với tập hợp nghiệm cho trước.
b) Cú pháp:
[k,poles]= rlocfind(a,b,c,d)
[k,poles]= rlocfind(num,den)
[k,poles]= rlocfind(a,b,c,d,p)
[k,poles]= rlocfind(num,den,p)
c) Giải thích:
Lệnh rlocfind tạo ra độ lợi quỹ đạo nghiệm kết hợp với các cực trên quỹđạo nghiệm. Lệnh rlocfind được dùng cho hệ SISO liên tục và gián đoạn.
[k,poles]= rlocfind(a,b,c,d) tạo ra dấu x trong cửa sổ đồ họa mà ta dùng để chọn một điểm trên quỹ đạo nghiệm có sẵn. Độ lợi của điểm này được tạo ra trong k và các cực ứng với độ lợi này nằm trong poles. Để sử dụng lệnh này thì quỹ đạo nghiệm phải có sẵn trong cửa sổ đồ họa.
[k,poles]= rlocfind(num,den) tạo ra dấu x trong cửa sổ đồ họa mà ta dùng để chọn một điểm trên quỹ đạo nghiệm của hệ thống có hàm truyền G = num/den trong đó có num và den chứa các hệ số đa thức theo chiều giảm dần số mũ của s hoặc z.
[k,poles]= rlocfind(a,b,c,d,p) hoặc [k,poles]= rlocfind(num,den,p) tạo ra vector độ lợi k và vector các cực kết hợp pole với mỗi thành phần trong mỗi vector ứng với mỗi nghiệm trong p.
d) Ví dụ: (Trích từ trang 11-180 sách Control System Toolbox)
Xác định độ lợi hồi tiếp để các cực vòng kín của hệ thống có hệ số tắt dần = 0.707 và có hàm truyền :

num = [2 5 1];
den = [1 2 3];
% Vẽ quỹ đạo nghiệm:
rlocus(num,den);title(Do loi quy dao nghiem);
% Tìm độ lợi tại điểm được chọn:
rlocfind(num,den);
Sau khi nhập xong lệnh, trên màn hình của Matlab sẽ xuất hiện dòng chữ:
Select a point in the graphics window
và trên hình vẽ có thước để ta kéo chuột và chọn điểm
ta có quỹ đạo nghiệm:

3. Lệnh RLOCUS
a) Công dụng:
Tìm quỹ đạo nghiệm Evans.
b) Cú pháp:
r = rlocus(num,den)
r = rlocus(num,den,k)
r = rlocus(a,b,c,d)
r = rlocus(a,b,c,d,k)
c) Giải thích:
Lệnh rlocus tìm quỹ đạo nghiệm Evans của hệ SISO. Quỹ đạo nghiệm được dùng để nghiên cứu ảnh hưởng của việc thay đổi độ lợi hồi tiếp lên vị trí cực của hệ thống, cung cấp các thông tin về đáp ứng thời gian và đáp ứng tần số. Đối với đối tượng điều khiển có hàm truyền G(s) và khâu bổ chính hồi tiếp k*f(s), hàm truyền vòng kín là :

Nếu bỏ qua các đối số ngõ ra thì lệnh rlocus sẽ vẽ ra quỹ đạo trên màn hình. Lệnh rlocus dùng cho cả hệ liên tục và gián đoạn.
r = rlocus(num,den) vẽ quỹ đạo nghiệm của hàm truyền :
q(s) = 1 + k = 0
với vector độ lợi k được xác định tự động. Vector num và den chỉ ra hệ tử số và mẫu số theo chiều giảm dần số của s hoặc z.

r = rlocus(a,b,c,d) vẽ ra quỹ đạo nghiệm của hệ không gian trạng tái SISO liên tục và gián đoạn với vector độ lợi được xác định tự động
r = rlocus(num,den,k) hoặc r = rlocus(a,b,c,d,k) vẽ ra quỹ đạo nghiệm với vector độ lợi k do người sử dụng xác định. Vector k chứa các giá trị và độ lợi mà nghiệm hệ vòng kín được tính.
Nếu sử dụng các đối số ngõ ra thì :
[r,k] = rlocus(num,den)
[r,k] = rlocus(num,den,k)
[r,k] = rlocus(a,b,c,d)
[r,k] = rlocus(a,b,c,d,k)
tạo ra ma trận ngõ ra chứa các nghiệm và vector độ lợi k. Ma trận r có length(k) hàng và (length(den) –1) cột, ngõ ra chứa vị trí các nghiệm phức. Mỗi hàng trong ma trận tương ứng với một độ lợi trong vector k. Quỹ đạo nghiệm có thể được vẽ bằng lệnh plot(r,x).
d) Ví dụ: (Trích từ trang 11-183 sách Control System Toolbox)
Tìm và vẽ quỹ đạo nghiệm của hệ thống có hàm truyền :

% Xác định hàm truyền :
num = [2 5 1];
den = [1 2 3];
% Vẽ quỹ đạo nghiệm :
rlocus(num,den)
title(Quy dao nghiem)

4. Lệnh SGRID
a) Công dụng:
Tạo lưới cho quỹ đạo nghiệm và biểu đồ cực-zero liên tục.
b) Cú pháp:
sgrid
sgrid(new)
sgrid(z,wn)
sgrid(z,wn,new)
c) Giải thích:
Lệnh sgrid tạo lưới cho quỹ đạo nghiệm và biểu đồ cực-zero liên tục trong mặt phẳng s. Đường lưới vẽ là các đường hằng số tỉ số tắt dần () và tần số tự nhiên (n). Đường tỉ số tắt dần được vẽ từ 0 tới 1 theo từng nấc là 0.1.
sgrid(new) xóa màn hình đồ họa trước khi vẽ và thiết lập trạng thái hold on để quỹ đạo nghiệm hay biểu đồ cực-zero được vẽ lên lưới bằng các lệnh :
sgrid(new)
rlocus(num,den) hoặc pzmap(num,den)
sgrid(z,wn) vẽ các đường hằng số tỉ lệ tắt dần được chỉ định trong vector z và vẽ đường tần số tự nhiên được chỉ định trong vector wn.
sgrid(z,wn,new) xóa màn hình đồ họa trước khi vẽ các đường tỉ số tắt dần và tần số tự nhiên được chỉ định trong vector z và wn. Trạng thái hold on được thiết lập.
d) Ví dụ: Trích từ trang 11-200 sách Control System Toolbox
Vẽ lưới trong mặt phẳng s trên quỹ đạo nghiệm của hệ thống có hàm truyền :
num = [2 5 1]; % ta có thể thay đổi 2 dòng num=…, den=… thành dòng lệnh sau:
den = [1 2 3]; % H(s)=tf([2 5 1],[1 2 3]);
rlocus(num,den)
title(Quy dao nghiem)
sgrid

5. Lệnh ZGRID
a) Công dụng:
Vẽ lưới tỉ lệ tắt dần và tần số tự nhiên cho quỹ đạo nghiệm gián đoạn.
b) Cú pháp:
zgrid
zgrid(new)
zgrid(z,wn)
zgrid(z,wn,new)
c) Giải thích:
Lệnh zgrid tạo lưới quỹ đạo cho nghiệm hoặc biểu đồ cực-zero trong mặt phẳng z. Các đường hằng số tỉ lệ tắt dần () và tần số tự nhiên chuẩn hóa sẽ được vẽ. được thay đổi từ 0 tới 1 theo từng nấc thay đổi là 0.1 và tần số tự nhiên được vẽ từ 0 tới với từng nấc thay đổi là /.
zgrid(new) xóa màn hình đồ họa trước khi vẽ lưới và thiết lập trạng thái hold on để quỹ đạo nghiệm hoặc biểu đồ cực-zero được vẽ lên lưới sử dụng các lệnh :
zgrid('new')
rlocus(num,den) hoặc pzmap(num,den)
zgrid(z,wn) vẽ hằng số tắt dần được chỉ định trong vector z và vẽ hằng số tần số tự nhiên cho các tần số chuẩn hóa được chỉ định trong vector wn. Các tần số chuẩn hóa có thể được vẽ bằng lệnh zgrid(z,wn/Ts) với tần số là thời gian lấy mẫu.
zgrid(z,wn,new) xóa màn hình đồ họa trước khi vẽ tỉ số tắt dần và tần số tự nhiên được chỉ định trong vector z và wn. Trạng thái hold on được thiết lập.
zgrid([ ],[ ]) sẽ vẽ ra vòng tròn đơn vị.
d) Ví dụ: Trích từ 11-236 sách Control System Toolbox
Vẽ lưới trong mặt phẳng cho quỹ đạo nghiệm của hệ thống có hàm truyền :

num = [2 -3.4 1.5];
den = [1 -1.6 0.8];
axis(square)
zgrid(new)
rlocus(num,den)
title(Ve luoi cho quy dao nghiem)

CÁC BÀI TẬPVỀ QUỸ ĐẠO NGHIỆM

Bài 1:
KGH = với k = 2
» num = 2;
» den = [1 9 20 0];
» rlocus(num,den)

Từ đồ thị cho ta:
1. Điểm cực: 0 ,-4,-5.
2. Quỹ đạo nghiệm có 3 nhánh.
3. Điểm zero ở vô cùng ( ).
4. Điểm tách được xác định bằng cách từ cửa sổ MATLAB ta nhập:
» num = 2;
» den = [1 9 20 0];
» rlocus(num,den);
» rlocfind(num,den)
Sau khi nhập lệnh thì trên cửa sổ lệnh sẽ xuất hiện hàng chữ:
Select a point in the graphics window (hãy chọn 1 điểm trên đồ thị minh họa).
Trên đồ thị sẽ có thước cho ta chọn điểm – kéo rê chuột để chọn điểm cần chọn.
selected_point = -1.4516
Điểm tách có giá trị: -1.4516
Giao điểm của quỹ đạo nghiệm với trục ảo (tương tự như tìm điểm tách): +4.472j, -4.472j.
Từ giá trị tại giao điểm của quỹ đạo nghiệm với trục ảo ta thế vào phương trình đặc trưng:
F(s) = s3+9s2+20s+k = 0
F(jw) = -jw3-9w2+20jw+k = 0
kgh = 180
Kết luận: hệ thống sẽ ổn định khi 0 < k < 180

Bài 2:
KGH = (k = 2)
» num = 2;
» den = [1 8 36 80 0];
» rlocus(num,den)

Từ đồ thị cho ta:
1. Điểm cực: 0,-4,-2+4j,-2-4j;
2. Quỹ đạo nghiệm có 4 nhánh
3. Điểm zero ở vô hạn ( )
4. Điểm tách được xác định bằng cách từ cửa sổ MATLAB ta nhập:
» num = 2;
» den = [1 8 36 80 0];
» rlocus(num,den);
» rlocfind(num,den);
Sau khi nhập lệnh thì trên cửa sổ lệnh sẽ xuất hiện hàng chữ:
Select a point in the graphics window (hãy chọn 1 điểm trên đồ thị minh họa).
Trên đồ thị sẽ có thước cho ta chọn điểm – kéo rê chuột để chọn điểm cần chọn.
selected_point = -2, -2.0184 + 2.4561j, -2.0184 - 2.4561j
Điểm tách có giá trị: -2, -2.0184 + 2.4561j, -2.0184 - 2.4561j
Giao điểm của quỹ đạo nghiệm với trục ảo (tương tự như tìm điểm tách): +3.16j, -3.16j
Từ giá trị tại giao điểm của quỹ đạo nghiệm với trục hoành ta thế vào phương trình đặc trưng:
F(jw) = w4-8jw3-36w2+80jw+k
kgh = 260
Kết luận : hệ thống sẽ ổn định khi 0 < k < 260

Bài 3:
KGH = (k = 2)
» num = 2;
» den =[1 0 0 ];
» rlocus(num,den)

Từ đồ thị ta có:
1. Điểm cực : 0
2. Quỹ đạo nghiệm có 2 nhánh
3. Điểm zero ở vô hạn ( )
Điểm tách có giá trị: 0
Kết luận: hệ thống không ổn định.

Bài 4:
KGH =
» num = 2;
» den =[1 0 0 0];
» rlocus(num,den)

Từ đồ thị ta có:
1. Điểm cực: 0.
2. Quỹ đạo nghiệm có 3 nhánh.
3. Điểm zero ở vô hạn ().
4. Điểm tách có giá trị: 0
Kết luận: hệ thống không ổn định (vì hai nhánh của quỹ đạo nghiệm số luôn nằm nửa phải mặt phẳng phức).

Bài 5:
KGH = (k = 1, t = 2)
» num = 1;
» den = [2 1 0];
» rlocus(num,den)

1. Điểm cực : 0,-0.5
2. Quỹ đạo nghiệm có 2 nhánh
3. Điểm zero ở vô hạn ( )
4. Điểm tách được được xác định bằng cách từ cửa sổ MATLAB ta nhập:
» num = 1;
» den = [2 1 0 ];
» rlocus(num,den);
» rlocfind(num,den)
Sau khi nhập lệnh thì trên cửa sổ lệnh sẽ xuất hiện hàng chữ:
Select a point in the graphics window (hãy chọn 1 điểm trên đồ thị minh họa).
Trên đồ thị sẽ có thước cho ta chọn điểm – kéo rê chuột để chọn điểm cần chọn.
selected_point = -0.253
Điểm tách có giá trị: -0.253-
Kết luận: hệ thống luôn ổn định (vì quỹ đạo nghiệm luôn nằm ở nửa trái mặt phẳng phức).

Bài 6:
KGH = (k = 1, t = 1)
» num = [1 1];
» den = [1 0 0];
» rlocus(num,den)

1. Điểm cực: 0
2. Quỹ đạo nghiệm có 2 nhánh
3. Điểm zero ở , -1
4. Điểm tách được được xác định bằng cách từ cửa sổ MATLAB ta nhập:
» num = [1 1];
» den = [1 0 0];
» rlocus(num,den);
» rlocfind(num,den)
Sau khi nhập lệnh thì trên cửa sổ lệnh sẽ xuất hiện hàng chữ:
Select a point in the graphics window (hãy chọn 1 điểm trên đồ thị minh họa).
Trên đồ thị sẽ có thước cho ta chọn điểm – kéo rê chuột để chọn điểm cần chọn.
selected_point = -2
Điểm tách có giá trị: -2.
Kết luận: hệ thống ở biên ổn định.

Bài 7:
KGH = (k = 1, t1 = 2, t2 = 1)
» num = 1;
» den = [2 3 1];
» rlocus(num,den)

1. Điểm cực: -0.5, -1.
2. Quỹ đạo nghiệm có 2 nhánh
3. Điểm zero ở vô hạn ( )
4. Điểm tách được được xác định bằng cách từ cửa sổ MATLAB ta nhập:
» num = 1;
» den = [2 3 1];
» rlocus(num,den);
» rlocfind(num,den)
Sau khi nhập lệnh thì trên cửa sổ lệnh sẽ xuất hiện hàng chữ:
Select a point in the graphics window (hãy chọn 1 điểm trên đồ thị minh họa).
Trên đồ thị sẽ có thước cho ta chọn điểm – kéo rê chuột để chọn điểm cần chọn.
selected_point = -0.75.
Điểm tách có giá trị: -0.75
Kết luận: hệ thống luôn ổn định.

Bài 8:
KGH = (k = 10)
» num =10;
» den = [ 1 8 15 -8 -16];
» rlocus(num,den)

1. Điểm cực : 1, -1 và 1 cực kép -4.
2. Quỹ đạo nghiệm có 4 nhánh.
3. Điểm zero: có 4 zero ở vô cùng ( ).
4. Điểm tách được được xác định bằng cách từ cửa sổ MATLAB ta nhập:
» num =10;
» den = [ 1 8 15 -8 -16];
» rlocus(num,den);
» rlocfind(num,den)
Sau khi nhập lệnh thì trên cửa sổ lệnh sẽ xuất hiện hàng chữ:
Select a point in the graphics window (hãy chọn 1 điểm trên đồ thị minh họa).
Trên đồ thị sẽ có thước cho ta chọn điểm – kéo rê chuột để chọn điểm cần chọn.
selected_point = 0.2308, -4
Điểm tách có giá trị: 0.2308, -4
Kết luận: Hệ thống luôn không ổn định vì tồn tại 1 nghiệm của phương trình đặc trưng nằm bên phải mặt phẳng phức.

Bài 9: Trích từ trang 5-19 sách Control System Toolbox
Bài này tổng hợp các lệnh:
» h=tf([4 8.4 30.8 60],[1 4.12 17.4 30.8 60]);
» subplot(221)
» bode(h)
» subplot(222)
» step(h)
» subplot(223)
» pzmap(h)
» subplot(224)
» plot(rand(1,100)
» plot(rand(1,100))

Bài 10: Cho hàm truyền như sau:

Viết theo cấu trúc sau ta có được đồ thị biểu diễn quỹ đạo nghiệm:

» num=[1 4];
» den=conv([1 1],[1 2])
» rlocus(num,den)

Kết quả như hình sau: